2023年高职单招《数学》每日一练试题02月10日

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判断题

1、若函数f(x)=3x²+bx-1(b∈R)是偶函数，则f(-1)=2.

答 案：对

解 析：因为f(x)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，f(-1)=f(1),即b=0,则f(-1)=3-1=2.

2、log₃9=log₃(3×3)=3.

答 案：错

解 析：log₃9=log₃3²=2.

单选题

1、向量 化简后等于()

• A：
• B：
• C：
• D：

答 案：C

2、  

• A：A
• B：B
• C：C
• D：D

答 案：A

主观题

1、已知函数f(x)=log₃(3x—1).(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若f(x)<1,求x的取值范围.

答 案：(1)根据题意可得，3x-1>0,解得所以函数f(x)的定义域是(2)因为f(x)=log₃(3x-1)<1=log₃3,f(x)为定义域上的增函数，所以O<3x-1<3,解得所以x的取值范围是

2、如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BC的中点，AA₁=AB=1.(1)证明：A₁C//平面AB₁D;
(2)求二面角B-AB₁-D的正切值.

答 案：(1)证明：连接A₁B,AB₁,交于点E,则E是AB₁的中点，连接DE,如图所示.因为D为BC的中点，所以DE是△A₁EC的中位线，DE//A₁C.因为A₁C平面AB₁D,DE平面AB₁D,所以A₁C//平面AB₁D.(2)过D作DF⊥AB于F,过F作FG⊥AB₁于G,连接DG.如上图所示.
因为平面A₁ABB₁⊥平面ABC,DF⊥AB,所以DF⊥平面A₁ABB₁.
因为AB₁平面A₁ABB₁,所以AB₁⊥DF.
因为FG⊥AB₁,所以AB₁⊥平面DFG,所以AB₁⊥DG.
因为AB₁⊥FG,AB₁⊥DG,FG∩DG=G,所以为二面角B-AB₁-D的平面角.
因为AA₁=AB=1,所以在等边三角形ABC中
在△ABB₁中，
所以在Rt△DFG中，

填空题

1、过点(0,1)的直线与圆x²+y²=4相交于A,B两点，则|AB|的最小值为（）  

答 案：

解 析：当弦心距取最大值1时，|AB|最小，则  

2、已知|a|=4，b=3，=30°，则|a+b|=（）.  

答 案：

简答题

1、若集合A={x|αx²+3x+2=0}中最多有一个元素，求实数a的取值范围.

答 案：分两种情况：当a=0时，集合,符合题意。
当a≠0时，要使集合A中最多含有一个元素，则判别式△=9-8a≤0,即
综上所述，a的取值范围为

2、  

答 案：