2023年成考专升本《高等数学一》每日一练试题04月09日

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单选题

1、当x→0时，x²－sinx是x的（）。

• A：高阶无穷小
• B：等价无穷小
• C：同阶无穷小，但不是等价无穷小
• D：低阶无穷小

答 案：C

解 析：，故x²-sinx是x的同阶无穷小，但不是等价无穷小。

2、级数收敛是级数收敛的（）。

• A：充分条件
• B：必要条件
• C：充分必要条件
• D：既非充分也非必要条件

答 案：A

解 析：级数收敛为绝对收敛，所以级数必然收敛；但级数收敛不一定能得到级数收敛，所以为充分非必要条件。

3、曲线y＝的水平渐近线为（）。

• A：x＝－2
• B：x＝2
• C：y＝1
• D：y＝－2

答 案：C

解 析：y＝，，可知y＝1为曲线的水平渐近线；x＝－2为曲线的垂直渐近线。

主观题

1、设函数，求f（x）的极大值

答 案：解：当x＜-1或x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调增加；当－1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调减少。
故x₁＝－1是f（x）的极大值点，
极大值为f（－1）＝5。

2、设z＝，求。

答 案：解：令u＝x＋2y，v＝x²＋y²，根据多元函数的复合函数求导法则得

3、试证：当x＞0时，有不等式

答 案：证：先证x＞sinx（x＞0）。设f（x）＝x－sinx，则f（x）＝1－cosx≥0（x＞0），所以f（x）为单调递增函数，于是对x＞0有f（x）＞f（0）＝0，即x－sinx＞0，亦即x＞sinx（x＞0）。再证
令
则，所以g'(x)单调递增，又g'(x)＝0，可知g'(x)＞g'(0)＝0（x＞0），那么有g（x）单调递增，又g（0）＝0，可知g（x）＞g（0）＝0（x＞0），所以即
综上可得：当x＞0时，。

填空题

1、则（）。

答 案：3

解 析：

2、曲线的水平渐近线方程是（）。

答 案：y＝1

解 析：故水平渐近线方程是y＝1。

3、设z＝xy，则dz＝（）。

答 案：ydx＋xdy

解 析：z＝xy，则＝y，＝x.由于dz＝可知dz＝ydx＋xdy。

简答题

1、求方程的通解。  

答 案：