2023年成考专升本《高等数学一》每日一练试题03月02日

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单选题

1、设则y'(0)=（）。

• A：1
• B：
• C：0
• D：

答 案：B

解 析：则

2、设有直线则该直线（）。

• A：过原点且垂直于x轴
• B：过原点且垂直于y轴
• C：过原点且垂直于z轴
• D：不过原点也不垂直于坐标轴

答 案：Ｂ

解 析：将原点坐标（0，0，0）代入方程，等式成立，则直线过原点；由于所给直线的方向向量s＝（1，0，－2），而y轴正方向上的单位向量i＝（0，1，0），s·i＝1×0＋0×1＋（－2）×0＝0，因此s⊥i，即所给直线与y轴垂直。

3、（）。

• A：
• B：
• C：
• D：

答 案：B

解 析：。

主观题

1、设f（x，y）为连续函数，交换二次积分的积分次序。

答 案：解：由题设知中积分区域的图形应满足1≤x≤e，0≤y≤lnx，因此积分区域的图形见下图中阴影部分．由y＝lnx，有x＝e^y。所以。

2、某厂要生产容积为V₀的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省?

答 案：解：设圆柱形罐头盒的底圆半径为r，高为h，表面积为S，则由②得,代入①得现在的问题归结为求r在（0，＋∞）上取何值时，函数S在其上的值最小。
令,得
由②，当时，相应的h为：。
可见当所做罐头盒的高与底圆直径相等时，所用材料最省。

3、求曲线y＝x²在点（a，a²）（a＜1）的一条切线，使由该切线与x＝0、x＝1和y＝x²所围图形的面积最小。

答 案：解：设所求切线的切点为（a，b），见下图，则b＝a²，，切线方程为y－b＝2a（x－a），y＝2ax－2a²＋b＝2ax－a²。设对应图形面积为A，则
令，则，令。当a＜时，f'(a)＜0；当a＞时，f'(a)＞0，故为f(a)的最小值点，切线方程为：y＝x－。

填空题

1、＝（）。

答 案：2e

解 析：

2、设y＝(x＋3)²，则y'＝（）。

答 案：2(x＋3)

解 析：

3、＝（）。

答 案：x-x²+C

解 析：

简答题

1、设z是x,y的函数，且 证明：  

答 案：在已知等式两边对x求导，y视为常数，有 所以 同样方法可得 所以 故