2023年成考专升本《高等数学一》每日一练试题01月28日

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单选题

1、曲线的拐点是（）。

• A：（2，0）
• B：（－2，0）
• C：（1，0）
• D：不存在

答 案：B

解 析：，，令得x=-2，当x＜-2时，当x＞-2时，点（－2，0）为拐点。

2、＝（）。

• A：2
• B：
• C：1
• D：

答 案：B

解 析：。

3、设f（x）在点x₀处取得极值，则（）。

• A：不存在或
• B：必定不存在
• C：必定存在且
• D：必定存在，不一定为零

答 案：A

解 析：若点x₀为f（x）的极值点，可能为两种情形之一：（1）若f（x）在点x₀处可导，由极值的必要条件可知；（2）如f（x）＝|x|在点x＝0处取得极小值，但f（x）＝|x|在点x＝0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。

主观题

1、求微分方程的通解。

答 案：解：对应的齐次方程为。特征方程，特征根齐次方程通解为原方程特解为，代入原方程可得，因此。
方程通解为

2、设函数，求f（x）的极大值

答 案：解：当x＜-1或x＞3时，f′（x）＞0，f（x）单调增加；当－1＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调减少。
故x₁＝－1是f（x）的极大值点，
极大值为f（－1）＝5。

3、求二元函数的极值。

答 案：解：则由点P（－1，1）为唯一驻点，因此点（－1，－1）为z的极小值点，极小值为－1。

填空题

1、设y＝x³＋2，则y''=（）。

答 案：6x

解 析：

2、过点M₀（1，－2，0）且与直线垂直的平面方程为（）。

答 案：3（x－1）－（y＋2）＋x＝0（或3x－y＋z＝5）

解 析：因为直线的方向向量s＝（3，－1，1），且平面与直线垂直，所以平面的法向量，由点法式方程有平面方程为：3（x－1）－（y＋2）＋（z－0）＝0，即3（x－1）－（y＋2）＋z＝0。

3、若f(x)是连续函数的偶函数，且,则=（）。

答 案：2m

解 析：由于f(x)为连续的偶函数，因此。

简答题

1、证明：e^x＞1+x(x＞0).  

答 案：对F(x)=e^x在[0,x]上使用拉格朗日中值定理得 因 故 注：本题也可用单调性证明 记G(x)=e^x—1—x，则G'(x)=e^x—1. 由x＞0知G'(x)＞0，所以G(x)单调增加，由G(0)=0， 知G(x)＞G(0)=0，即e^x—1—x＞0， 所以e^x＞1+x.