2022年成考专升本《高等数学一》每日一练试题12月13日

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单选题

1、函数z＝xy在（0，0）处（）。

• A：有极大值
• B：有极小值
• C：不是驻点
• D：无极值

答 案：D

解 析：由解得驻点（0，0）。，B²－AC＝1＞0，所以在（0，0）处无极值。

2、极限等于（）。

• A：5
• B：
• C：3
• D：0

答 案：B

解 析：。

3、设在x＝－1处连续，则a＝（）。

• A：－2
• B：－1
• C：0
• D：2

答 案：A

解 析：f(x)在x＝－1处连续，则，故。

主观题

1、求微分方程的通解。

答 案：解：为一阶线性微分方程，则

2、在曲线上求一点M₀，使得如图中阴影部分的面积S₁与S₂之和S最小。

答 案：解：设点M₀的横坐标为x₀，则有则S为x₀的函数，将上式对x₀求导得令S'=0,得，所以由于只有唯一的驻点，所以则点M₀的坐标为为所求。

3、求微分方程的通解。

答 案：解：的特征值方程为，则；故齐次微分方程的通解为。由题意设原微分方程的特解为，则有，得。即微分方程的通解为。

填空题

1、过点M₀（1，－2，0）且与直线垂直的平面方程为（）。

答 案：3（x－1）－（y＋2）＋x＝0（或3x－y＋z＝5）

解 析：因为直线的方向向量s＝（3，－1，1），且平面与直线垂直，所以平面的法向量，由点法式方程有平面方程为：3（x－1）－（y＋2）＋（z－0）＝0，即3（x－1）－（y＋2）＋z＝0。

2、函数的极大值点的坐标是（）。

答 案：（-1，-2）

解 析：，令y'=0，得.当x＜-1时，y'＞0，函数单调增加；当时，y'＜0，函数单调减少；当x＞1时，y'＞0，函数单调增加.故当x=-1时，函数取得极大值为-2，即极大值坐标为（-1，-2）。

3、设，则f(x)=（）。

答 案：6x²

解 析：对题设方程两边求导，即得。

简答题

1、求幂级数的收敛区间.  

答 案：令（x—1）²=t，则级数化为 故级数在0≤t≤1，即-1≤x—1≤1上收敛，而当t=1时，即x=2或x=0时。级数为这是交错级数，由莱不尼茨判别法知级数收敛. ∴级数在[0,2]上收敛. 注：本题另解如下 所以当|x—1|＜1时级数收敛，即0＜x＜2时级数收敛， 同上知x=0或x=2时级数收敛，故级数的收敛区间为[0,2].