2023年成考专升本《高等数学一》每日一练试题11月23日

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单选题

1、设直线，则直线l（）。

• A：过原点且平行于x轴
• B：不过原点但平行于x轴
• C：过原点且垂直于x轴
• D：不过原点但垂直于x轴

答 案：C

解 析：将原点（0，0，0）代入直线方程成等式，可知直线过原点（或由直线方程表示过原点的直线得出上述结论），直线的方向向量为（0，2，1），与x轴同方向的单位向量为（1，0，0），且（0，2，1）×（1，0，0）＝0，可知所给直线与x轴垂直。

2、设与都为正项级数，且则下列结论正确的是（）。

• A：若收敛，则收敛
• B：若发散，则发散
• C：若收敛，则收敛
• D：若收敛，则发散

答 案：C

解 析：由正项级数的比较判别法可知，若都为正项级数，且则当收敛时，可得知必定收敛．

3、微分方程y'＝2y的通解为y＝（）。

• A：
• B：
• C：
• D：

答 案：A

解 析：将方程y'＝2y分离变量得，。

主观题

1、某厂要生产容积为V₀的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省?

答 案：解：设圆柱形罐头盒的底圆半径为r，高为h，表面积为S，则由②得,代入①得现在的问题归结为求r在（0，＋∞）上取何值时，函数S在其上的值最小。
令,得
由②，当时，相应的h为：。
可见当所做罐头盒的高与底圆直径相等时，所用材料最省。

2、将函数f(x)＝展开为x－1的幂级数，并指出收敛区间（不讨论端点）。

答 案：解：由，知－1＜x－1＜1，0＜x＜2，即收敛区间是（0，2）。

3、欲围造一个面积为15000平方米的运动场，其正面材料造价为每平方米600元，其余三面材料造价为每平方米300元，试问正面长为多少米才能使材料费最少?

答 案：解：设运动场正面围墙长为x米，则宽为，设四面围墙高相同，记为h，则四面围墙所用材料费用，f（x）为令得驻点x₁＝100，x₂＝－100（舍掉），由于驻点唯一，且实际问题中存在最小值，可知x＝100米，侧面长150米时，所用材料费最小。

填空题

1、曲线y＝x²-x在点（1，0）处的切线斜率为（）。

答 案：1

解 析：点（1，0）在曲线y＝x²-x上，，故点（1，0）处切线的斜率为1。

2、设，则（）。

答 案：2e²

解 析：,则

3、设a≠0，则＝（）。

答 案：

解 析：。

简答题

1、设函数  

答 案：