2023年成考专升本《高等数学一》每日一练试题11月20日

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单选题

1、微分方程的通解为（）。

• A：y＝Ce^-x
• B：y＝e^-x＋C
• C：y＝C₁e^-x＋C2
• D：y＝e^-x

答 案：C

解 析：特征方程为r²＋r＝0，特征根为r₁＝0，r₂＝－1；方程的通解为y＝C₁e^-x＋C2。

2、＝（）。

• A：x²
• B：2x²
• C：x
• D：2x

答 案：A

解 析：由可变限积分求导公式可知。

3、＝（）。

• A：0
• B：
• C：arctanx
• D：

答 案：A

解 析：当定积分存在时，它表示一个常数值，常数的导数等于零。

主观题

1、试证：当x＞0时，有不等式

答 案：证：先证x＞sinx（x＞0）。设f（x）＝x－sinx，则f（x）＝1－cosx≥0（x＞0），所以f（x）为单调递增函数，于是对x＞0有f（x）＞f（0）＝0，即x－sinx＞0，亦即x＞sinx（x＞0）。再证
令
则，所以g'(x)单调递增，又g'(x)＝0，可知g'(x)＞g'(0)＝0（x＞0），那么有g（x）单调递增，又g（0）＝0，可知g（x）＞g（0）＝0（x＞0），所以即
综上可得：当x＞0时，。

2、在曲线上求一点M₀，使得如图中阴影部分的面积S₁与S₂之和S最小。

答 案：解：设点M₀的横坐标为x₀，则有则S为x₀的函数，将上式对x₀求导得令S'=0,得，所以由于只有唯一的驻点，所以则点M₀的坐标为为所求。

3、设e^x＋x＝e^y＋y，求。

答 案：解：对等式两边同时微分，得，故。

填空题

1、  

答 案：2

解 析：令有即函数f(x)是奇函数，因此

2、（）。

答 案：

解 析：。

3、曲线y＝2x²在点（1，2）处有切线，曲线的切线方程为y＝（）。

答 案：4x－2

解 析：点（1，2）在曲线y＝2x²上，过点（1，2）的切线方程为y－2＝4（x－1），y＝4x－2。

简答题

1、设f(x)=在x=0连续，试确定A,B.

答 案： 欲使f(x)在x=0处连续，应有2A=4=B+1，所以A=2,B=3.