2024年成考高起点《数学(理)》每日一练试题10月26日

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单选题

1、等差数列{an}中，已知前15项之和S₁₅＝90，则a₁＋a₁₅=（）。

• A：8
• B：10
• C：12
• D：14

答 案：C

解 析：等差数列{an}中，S₁₅=[（a₁+a₁₅）*15]/2=90，得（a₁+a₁₅）/2=6，a₁+a₁₅=12，答案为C。  

2、设二次函数f(x)=x²+px+q的图象经过点(1,一4)且则该二次函数的最小值为（）。

• A：－6
• B：－4
• C：0
• D：10

答 案：B

解 析：

3、若，则下列不等式成立的是（）。

• A：
• B：
• C：
• D：

答 案：A

解 析：

4、若函数f（x）是奇函数，则函数的奇偶性是（）。

• A：奇函数
• B：偶函数
• C：非奇非偶函数
• D：即是奇函数，又是偶函数

答 案：A

解 析：∵f(x)是奇函数 ∴f(-x)=-f(x) ∵F(x)=f(x)·(-cosx)=-f(x)cosx ∴F(-x)=-f(-x)cos(-x)= f(x)cosx =-F(x) 注：由此可知，奇函数×偶函数为奇函数；奇函数×奇函数为偶函数；偶函数×偶函数为偶函数。

主观题

1、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，b²=ac，求A。    

答 案：由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得ac=a²+c²-ac，即a²+c²-2ac=(a-c)²=0，解得a=c。 又因为B=60°，故△ABC为等边三角形，所以A=60°

2、已知tan²θ=2tan²ψ+1，求cos2θ+sin²ψ的值。

答 案：由已知，得

3、求下列函数的最大值、最小值和最小正周期： （1）（2）y=6cosx+8sinx

答 案：  

4、已知设△ABC的三边长为a、b、C，2sin²A=3（sin²B+sin²C）且cos2A+3cosA+3cos（B-C）=1，求证：a：b：c=：1：1。

答 案：因所证的是△ABC三边的比，所以可将题中角的关系式转化为边的关系式，需用正弦定理关于题中的余弦关系式可通过恒等变形化为正弦函数的关系式。 ∵2sin²A=3（sin²B+sin²C）…① 由正弦定理得，2a²=3（b²+c²）…②
∵cos2A+3cosA+3cos（B-C）=1
∴3[cosA+cos（B-C）]=1-cos2A.
∵A=180°-（B+C）
∴3[-cos（B+C）+cos（B-C）]=2sin²A. 由两角和与差的余弦公式得
6sinBsinB=2sin²A…③
由①③得，2sinBsinC=sin²B+sin²C.
sin²B-2sinBsinC+sin²C=0
（sinB-sinC）²=0
sinB= sinC.
由正弦定理得

∴a：b=：1
于是a：b：c=：1：1。  

填空题

1、y=lg（sinx）的定义域是______。  

答 案：2kπ＜x＜(2k+1)π(k∈Z)

解 析：sinx＞0∴x属于第一、二象限,所以 2kπ＜x＜(2k+1)π(k∈Z)

2、已知sin²θ+1=cos²θ，则的值等于______。  

答 案：

解 析：由已知，cos²θ-sin²θ=1，即cos²θ-（1-cos²θ）=1，cos²θ=1，所以cosθ=±1。 而当cosθ=±1时，sinθ=0。